4.6 Produit scalaire, vectoriel
4.6.1 Introduction
Soient les vecteurs non nuls de \(E_{2}\):
\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow{u}=x_{1}\overrightarrow{e}_{x}+y_{1}\overrightarrow{e}_{y}=a_{1}\cos\theta_{1}\overrightarrow{e}_{x}+a_{1}\sin\theta_{1}\overrightarrow{e}_{y}\\\overrightarrow{v}=x_{2}\overrightarrow{e}_{x}+y_{2}\overrightarrow{e}_{y}=a_{2}\cos\theta_{2}\overrightarrow{e}_{x}+a_{2}\sin\theta_{2}\overrightarrow{e}_{y}\end{array}\right.\]
Posons:
\[\boxed{\varphi=\theta_{2}-\theta_{1}}\]
4.6.2 Produit scalaire
\(\forall\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in E_{2}\), dans la base orthonormée \(B=\left(\overrightarrow{e}_{x},\overrightarrow{e}_{y}\right)\):
\[\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\]
soit:
\[\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=a_{1}a_{2}\left[\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}\right]=a_{1}a_{2}\cos\varphi\]
donc:
\[\boxed{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert \left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert \cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)}\]
4.6.3 Produit vectoriel
Considérons ici \(\forall\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in E_{2}\) comme sous espace vectoriel de \(E_{3}\).
\(\forall\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in E_{2}\), dans la base orthonormée \(B=\left(\overrightarrow{e}_{x},\overrightarrow{e}_{y},\overrightarrow{e}_{z}\right)\):
\[\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v}=\left(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}\right)\overrightarrow{e}_{z}\]
soit:
\[\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v}=a_{1}a_{2}\left[\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}-\sin\theta_{2}\cos\theta_{1}\right]=a_{1}a_{2}\sin\varphi\overrightarrow{e}_{z}\]
donc:
\[\boxed{\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v}=\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert \left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert \sin\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\overrightarrow{e}_{z}}\]
4.6.4 Calcul de \(z_{1}^{*}z_{2}\)
Soit:
\[\left\{ \begin{array}{l}z_{1}=a_{1}e^{i\theta_{1}}\\z_{2}=a_{2}e^{i\theta_{2}}\end{array}\right.\]
d'où, en notant \(z^{*}\) le conjugué de \(z\):
\[z_{1}^{*}z_{2}=a_{1}e^{-i\theta_{1}}a_{2}e^{i\theta_{2}}=a_{1}a_{2}e^{i\varphi}\]
avec:
\[\boxed{\varphi=\theta_{2}-\theta_{1}}\]
Il est intéresssant de remarquer que:
- \(Re\left[z_{1}^{*}z_{2}\right]=a_{1}a_{2}\cos\varphi\) s'identifie à \(\overrightarrow{OM_{1}}.\overrightarrow{OM_{2}}\)
- \(Im\left[z_{1}^{*}z_{2}\right]=a_{1}a_{2}\sin\varphi\) s'identifie à la projection de \(\overrightarrow{OM_{1}}\wedge\overrightarrow{OM_{2}}\) sur \(\overrightarrow{e}_{z}\)