1.2 Définition
Soit \(E_{n}\) un espace vectoriel sur le corps \(K=\mathbb{R}\), de dimension finie \(n\).
Il est dit euclidien s'il est muni d'un produit scalaire:
\[\bullet:\:\left\{ \begin{array}{l}E_{n}\times E_{n}\longrightarrow\mathbb{R}\\\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\longrightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\end{array}\right.\]
Cette application est bilinéaire, symétrique, définie et positive.
Elle induit une norme euclidienne:
\[\left\Vert \:\right\Vert _{n}:\:\left\{ \begin{array}{l}E_{n}\longrightarrow\mathbb{R}^{+}\\\overrightarrow{u}\longrightarrow\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert _{n}\end{array}\right.\]
avec:
\[\boxed{\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert _{n}^{2}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}}\]
- 2 vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) de \(E_{n}\) sont dits orthogonaux si:\[\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\]
- un vecteur \(\overrightarrow{u}\) de \(E_{n}\) sont dit normé si:\[\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert _{n}=1\]