5.1 Echantillonnage
5.1.1 Introduction
On dispose d'un échantillonnage à la fréquence \(\nu_{e}=\frac{1}{\tau_{e}}\) de la fonction \(t\longmapsto x\left(t\right)\) à partir de \(t=0\).
Autrement dit, sur une durée \(T=N\tau_{e}\), on dispose du vecteur \(X=\left(x_{n}\right)_{n\in\left[0,N-1\right]}\) donnant le tableau des échantillons pris aux instants:
\[\boxed{t_{n}=n\tau_{e}}\]
avec \(n\in\left\{ 0,1,...,N-1\right\} \).
La fréquence:
\[\boxed{\nu_{e}=\frac{1}{\tau_{e}}}\]
est la fréquence d'échantillonnage, donnant le nombre d'échantillons pris par unité de temps.
5.1.2 Représentation formelle par une distribution
La distribution correspondant à la donnée de ces échantillons peut être vue comme la distribution:
\[\boxed{T_{N,\acute{e}ch}\left(t\right)=\sum_{n=0}^{N-1}x_{n}\delta\left(t-n\tau_{e}\right)}\]
où \(\delta\) est ici homogène à l'inverse d'un temps.
Comme on s'intéresse pour des raisons théoriques à l'éventualité d'un échantillonnage associée à une fonction \(t\longmapsto x\left(t\right)\) définie sur \(\mathbb{R}\) décrit par:
\[T_{\acute{e}ch}\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_{n}\delta\left(t-n\tau_{e}\right)\]
que l'on peut voir comme le produit d'un Peigne de Dirac dimensionné de période \(\tau_{e}\) par la fonction \(x\).
\[T_{\acute{e}ch}=\sha.x\]
car:
\[\mathop{\sha}\left(t\right).x\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta\left(t-n\tau_{e}\right)x\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_{n}\delta\left(t-n\tau_{e}\right)\]
puisque \(x\left(t\right)\) n'intervient qu'aux points \(t=0\) \(\left[\tau_{e}\right]\) où \(x\left(n\tau_{e}\right)=x_{n}\) correspond à la prise d'échantillon.
Pour se ramener à \(N\) échantillons, on peut multiplier \(T_{\acute{e}ch}\) par une fonction porte dimensionnée qui les sélectionne:
\[T_{\acute{e}ch}=T.\widetilde{\varPi}\]
avec:
\[\widetilde{\Pi}:\left\{ \begin{array}{lcc}1 & \textrm{si} & -\tau_{e}<t<\left(N+1\right)\tau_{e}\\0 & \textrm{ailleurs}\end{array}\right.\]