En préalable, ce texte n'a pas d'autre prétention que de donner quelques idées directrices, de manière fatalement superficielle: seul un cours de Mathématiques permet d'exposer ces notions avec l'exactitude et la rigueur requises.
L'analyse de Fourier va donner d'un élément d'une classe de fonctions, et au-delà, de distributions (que nous verrons qualitativement comme limite de familles de fonctions à un paramètre), une autre représentation dite spectrale.
Une fonction sera alors vue comme un vecteur au sein d'un espace de Hilbert \(\mathcal{H}\), muni notamment d'un produit scalaire hermitien, qui admet une décomposition dans une base de Hilbert (de dimension infinie pour les classes étudiées),
Ainsi:
- une fonction du temps \(t\longmapsto f\left(t\right)\), suivant la classe à laquelle \(f\) appartient, pourra être également caractérisée par son spectre de pulsations \(\omega\) ou de fréquences \(\nu=\frac{\omega}{2\pi}\), mettant en jeu la base de Hilbert engendrée par les fonctions \(t\longmapsto e_{\omega}\left(t\right)=e^{j\omega t}\) (ou un sous-ensemble).
- une fonction de l'abscisse \(x\longmapsto g\left(x\right)\), suivant la classe à laquelle \(g\) appartient, pourra être également caractérisée par son spectre de vecteurs d'onde \(k_{x}\) ou de fréquences spatiales \(f_{x}=\frac{k_{x}}{2\pi}\), mettant en jeu la base de Hilbert engendrée par les fonctions \(x\longmapsto e_{k_{x}}\left(x\right)=e^{jk_{x}x}\) (ou un sous-ensemble).
L'idée se généralise à d'autres classes de fonction.
Ainsi les fonctions suffisamment régulières \(\left(\theta,\varphi\right)\longmapsto h\left(\theta,\varphi\right)\) sur la sphère \(S_{2}\) et validant les conditions de bouclage requises, appartiennent à un espace de Hilbert engendré par les harmoniques sphériques \(\left(\theta,\varphi\right)\longmapsto Y_{l,m}\left(\theta,\varphi\right)\) avec \(l\in\mathcal{\mathbb{N}}\)et \(m\in\left\{ -l,-l+1,...l-1,l\right\} \), muni d'un produit scalaire hermitien approprié, que nous ne détaillerons pas ici.
On les rencontre notamment en chimie à l'occasion de l'étude des orbbitales atomiques (dépendance angulaire).