7.11 Exploitation de plusieurs mesures
7.11.1 Estimateur de l'espérance
On dispose alors de \(n>1\) mesures \(\left\{ x_{1},...,x_{n}\right\} \) de la même grandeur \(\mathcal{X}\), effectuées dans les mêmes conditions objectives, qui constituent un échantillon i.e. une réalisation de \(n\) v.a. \(X_{1},...,X_{n}\) indépendantes et identiquement distribuées ou iid i.e.:
- indépendantes
- de même espérance \(\mu=E\left(X_{i}\right)=\) inconnue qui s'identifie à la valeur exacte \(x\)
- de même variance \(\sigma^{2}=V\left(X\right)\) connue ou non
- de densité de probabilité \(f_{Z_{i}}=f_{Z}\) connue ou non, où:\[Z_{i}=\frac{X_{i}-\mu}{\sigma}\]connue ou non.
On adopte comme estimateur sans biais \(\hat{\mu}\) de \(\mu\) (i.e. \(E\left(\hat{\mu}\right)=\mu=x_{exacte}\)) pour l'échantillon \(\left\{ x_{1},...,x_{n}\right\} \) donné:
\[\boxed{\hat{\mu}=\overline{x}_{n}}\]
où \(\overline{x}_{n}\) s'appelle moyenne empirique de l'échantillon:
\[\boxed{\overline{x}_{n}=\frac{x_{1}+...+x_{n}}{n}}\]
qui s'identifie à la moyenne arithmétique.
On introduit alors la v.a. centrée réduite:
\[\overline{Z}_{n}=\frac{\overline{X}_{n}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\]
7.11.2 Cas où la loi de la v.a. \(Z\) est inconnue
Si \(f_{Z}\) est inconnue et supposée paire:
- Si \(\sigma\) est inconnue, l'incertitude-type de type \(A\) est donnée par:\[\Delta x_{A,n}=\sqrt{\hat{V}_{\overline{X}_{n}}}=\frac{s_{n}}{\sqrt{n}}\]où \(\hat{V}_{\overline{X}_{n}}\) est un estimateur \sigma sans biais de lla variance \(V_{\overline{X}_{n}}\) de la v.a. \(\overline{X}_{n}\)On retournera par défaut le résultat de la mesure de \(\mathcal{X}\) à partir de l'échantillon:\[\boxed{x_{exacte}\in\left[\overline{x}_{n}-\frac{s_{n}}{\sqrt{n}},\overline{x}_{n}+\frac{s_{n}}{\sqrt{n}}\right]}\]où \(s_{n}^{2}\) s'appelle variance empirique de l'échantillon:\[\boxed{s_{n}^{2}=\frac{\left(x_{1}-\overline{x}\right)^{2}+...+\left(x_{n}-\overline{x}\right)^{2}}{n-1}}\]
- Si \(\sigma\) est connue, l'incertitude-type de type \(A\) est donnée par:\[\Delta x_{A,n}=\sqrt{V_{\overline{X}_{n}}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]\(V_{\overline{X}_{n}}\) est la variance de la v.a. \(\overline{X}_{n}\).On retournera par défaut le résultat de la mesure de \(\mathcal{X}\) à partir de l'échantillon:\[\boxed{x_{exacte}\in\left[\overline{x}_{n}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{x}_{n}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]}\]
7.11.3 Cas où la loi de la v.a. \(Z\) est connue
Si \(f_{Z}\) est connue et supposée paire, cela revient à considérer intellectuellement que l'on s'appuie sur une étude statistique issue des résultats d'un grand nombre d'expérimentateurs ayant réalisé cette même expérience, on pourra considérer que les \(n\) v.a. \(Z_{1},...,Z_{n}\) iid centrées réduites avec:
\[Z_{i}=\frac{X_{i}-\mu}{\sigma}\]
- Si \(\sigma\) est inconnue, l'incertitude-type de type \(A\) issue de la connaissance du profil \(f_{Z}\) est donnée par:\[\Delta x_{A,n}=\sqrt{V_{\overline{X}_{n}}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]\(V_{\overline{X}_{n}}\) est la variance de la v.a. \(\overline{X}_{n}\).On retournera par défaut le résultat de la mesure de \(\mathcal{X}\) à partir de l'échantillon:\[\boxed{x\in\left[\overline{x}_{n}-\frac{s_{n}}{\sqrt{n}},\overline{x}_{n}+\frac{s_{n}}{\sqrt{n}}\right]}\]où \(s_{n}^{2}\) s'appelle variance empirique de l'échantillon:\[\boxed{s_{n}^{2}=\frac{\left(x_{1}-\overline{x}_{n}\right)^{2}+...+\left(x_{n}-\overline{x}_{n}\right)^{2}}{n-1}}\]On pourra également donner un intervalle de confiance de niveau choisi \(1-\alpha\), de paramètre \(n\):\[\boxed{IC\left(1-\alpha\right)=\left[\overline{x}_{n}-q_{1-\frac{\alpha}{2}}^{n-1}\frac{s_{n}}{\sqrt{n}},\overline{x}_{n}+q_{1-\frac{\alpha}{2}}^{n-1}\frac{s_{n}}{\sqrt{n}}\right]}\]pour que \(\mu=E\left[X\right]\) i.e. la valeur \(x_{exacte}\) cherchée soit dans un intervalle contenant \(\overline{x}_{n}\).\(q_{\gamma}^{k}\) est le quantile de la loi de la v.a.:\[T_{n}=\frac{\overline{X}_{n}}{\frac{1}{\sqrt{n}}S_{n}}\]où:
- \(k\) est un entier strictement positif appelé nombre de degrés de liberté
- \(\gamma\in\left[0,1\right]\)
- Si \(\sigma\) est connue, l'incertitude-type de type \(A\) issue de la connaissance du profil \(f_{Z}\) est donnée par:\[\Delta x_{A,n}=\sqrt{V_{\overline{X}_{n}}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]\(V_{\overline{X}_{n}}\) est la variance de la v.a. \(\overline{X}_{n}\).On retournera par défaut le résultat de la mesure de \(\mathcal{X}\) à partir de l'échantillon:\[\boxed{x_{exacte}\in\left[\overline{x}_{n}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{x}_{n}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]}\]On pourra également donner un intervalle de confiance de niveau choisi \(1-\alpha\), de paramètre \(n\):\[\boxed{IC\left(1-\alpha\right)=\left[\overline{x}_{n}-q_{1-\frac{\alpha}{2}}^{n-1}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{x}_{n}+q_{1-\frac{\alpha}{2}}^{n-1}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]}\]pour que \(\mu=E\left[X\right]\) i.e. la valeur \(x_{exacte}\) cherchée soit dans un intervalle contenant \(\overline{x}_{n}\).\(q_{\gamma}^{k}\) est le quantile de la loi de la v.a.:\[U_{n}=\frac{\overline{X}_{n}-\mu}{\frac{1}{\sqrt{n}}\sigma}\]où:
- \(k\) est un entier strictement positif appelé nombre de degrés de liberté
- \(\gamma\in\left[0,1\right]\)