6.4 Cas où \(\varphi\) varie lentement à l'échelle de \(\sigma_{X}\) et \(\sigma_{Y}\)
6.4.1 Linéarisation de \(Z\) au voisinage de \(\left(\mu_{X},\mu_{Y}\right)\)
Si \(\varphi\) varie lentement à l'échelle de \(\sigma_{X}\) et \(\sigma_{Y}\), alors au 1er ordre en \(X_{c}=X-\mu_{X}\) et \(Y_{c}=Y-\mu_{Y}\):
\[\boxed{Z=\varphi\left(\mu_{X},\mu_{Y}\right)+\alpha\left(\mu_{X},\mu_{Y}\right)\left(X-\mu_{X}\right)+\beta\left(\mu_{X},\mu_{Y}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right)}\]
où:
\[\left\{ \begin{array}{l}\alpha=\frac{\partial\varphi\left(\mu_{X},\mu_{Y}\right)}{\partial x}\\\beta=\frac{\partial\varphi\left(\mu_{X},\mu_{Y}\right)}{\partial y}\end{array}\right.\]
que l'on notera simplement \(\alpha\) et \(\beta\) dans la suite.
On se place désormais à cet ordre d'approximation et on écrira donc:
\[\boxed{Z_{c}=\alpha X_{c}+\beta Y_{c}}\]
6.4.2 Calcul de l'espérance de \(Z\)
On en déduit:
\[E\left(Z\right)=\varphi\left(\mu_{X},\mu_{Y}\right)+\alpha E\left(X_{c}\right)+\beta E\left(Y_{c}\right)=\varphi\left(\mu_{X},\mu_{Y}\right)\]
Autrement dit:
\[\boxed{\mu_{Z}=E\left(Z\right)=\varphi\left(\mu_{X},\mu_{Y}\right)}\]
6.4.3 Calcul de la variance de \(Z\)
Partons de:
\[Z_{c}=\alpha X_{c}+\beta Y_{c}\]
donc:
\[Z_{c}^{2}=\alpha^{2}X_{c}^{2}+\beta^{2}Y_{c}^{2}+2\alpha\beta X_{c}Y_{c}\]
Donc:
\[V_{Z}=\alpha^{2}V_{X}+\beta^{2}V_{Y}+2\alpha\beta E\left(X_{c}Y_{c}\right)\]
Puiisque:
\[cov\left(X,Y\right)=\frac{E\left[\left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right)\right]}{\sqrt{E\left[\left(X-\mu_{X}\right)^{2}\right]E\left[\left(Y-\mu_{Y}\right)^{2}\right]}}=\frac{E\left(X_{c}Y_{c}\right)}{\sqrt{V_{X}V_{Y}}}\]
on a donc:
\[V_{Z}=\alpha^{2}V_{X}+\beta^{2}V_{Y}+2\alpha\beta\sqrt{V_{X}V_{Y}}\textrm{cov}\left(X,Y\right)\]ou, en faisant apparaître les écart-types:
\[\boxed{\sigma_{Z}^{2}=\alpha^{2}\sigma_{X}^{2}+\beta^{2}\sigma_{Y}^{2}+2\alpha\beta\sigma_{X}\sigma_{Y}\textrm{cov}\left(X,Y\right)}\]
6.4.4 Cas où les v.a. \(X\) et \(Y\) sont indépendantes
Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, alors elles sont décorrelées (l'inverse n'est pas vrai en général):
\[\textrm{cov}\left(X,Y\right)=0\]
On obtient donc:
\[\boxed{\sigma_{Z}^{2}=\alpha^{2}\sigma_{X}^{2}+\beta^{2}\sigma_{Y}^{2}}\]
6.4.5 v.a. \(\ln X\) et cas où \(0<\sigma_{X}\ll\mu_{X}\)
Soit \(X\) une v.a. à valeurs strictement positives:
- d'espérance \(\mu_{X}\)
- d'écart-type \(\sigma_{X}=\sqrt{V_{X}}\)
- de densité de probabilité \(f_{X}\)
Intéressons-nous à la v.a. \(X_{l}=\ln\)\(X\) de densité de probabilité \(f_{X_{l}}\).
Il n'y a aucun résultat remarquable: il n'est pas certain que \(\mu_{X_{l}}\) et a fortiori \(V_{X_{l}}\) sont définies car \(\ln x\longrightarrow-\infty\) lorsque \(x\longrightarrow0^{+}\).
Cas particulier:
Examinons le cas où \(0<\sigma_{X}\ll\mu_{X}\).
On a alors:
\[X_{l}=\ln X=\ln\left(\mu_{X}+X-\mu_{X}\right)=\ln\mu_{X}+\ln\left(1+\frac{X_{c}}{\mu_{X}}\right)\]
qui va être évaluée alors par:
\[X_{l}=\ln X\simeq\ln\mu_{X}+\frac{X_{c}}{\mu_{X}}\]
où \(X_{c}=X-\mu_{X}\) est la v.a. centrée associée à \(X\).
On en déduit que:
\[\left\{ \begin{array}{l}\mu_{X_{l}}=\ln\mu_{X}\\V_{X_{l}}=\sigma_{X_{l}}^{2}=E\left[\left(X_{l}-\mu_{X_{l}}\right)^{2}\right]=\frac{\sigma_{X}^{2}}{\mu_{X}^{2}}\end{array}\right.\]
Bilan:
Si \(X\) est une v.a. à valeurs dans \(\mathbb{R}^{+*}\), et que le support caractéristique de \(f_{X}\) est suffisamment étroit pour valider la condition:
\[0<\sigma_{X}\ll\mu_{X}\]
la v.a. \(X_{l}=\ln X\) est:
- d'espérance:\[\boxed{\mu_{X_{l}}=\ln\mu_{X}}\]
- de variance:\[\boxed{V_{X_{l}}=\sigma_{X_{l}}^{2}=\frac{\sigma_{X}^{2}}{\mu_{X}^{2}}\ll1}\]
6.4.6 Cas d'une loi en puissances
Supposons que \(Z\) est une v.a. strictement positive donnée en fonction de \(2\) v.a. \(X\) et \(Y\) strictement positives par la fonction déterministe:
\[Z=\varphi\left(X,Y\right)=KX^{a}Y^{b}\]
où:
- \(K\) est une constante strictement positive
- \(a\) et \(b\) sont des paramètres réels non nuls connus
Introduisons les v.a. logarithmiques:
\[\left\{ \begin{array}{l}X_{l}=\ln X\\Y_{l}=\ln Y\\Z_{l}=\ln Z\end{array}\right.\]
on a donc:
\[Z_{l}=\psi\left(X_{l},Y_{l}\right)=\ln K+aX_{l}+bY_{l}\]
qui est donc linéaire en \(X_{l}\) et \(Y_{l}\).
Bilan:
Si \(X\) et \(Y\) sont deux v.a. indépendantes à valeurs dans \(\mathbb{R}^{+*}\), et que les supports caractéristiques de \(f_{X}\) et \(f_{Y}\) sont suffisamment étroits pour valider les conditions:
\[\left\{ \begin{array}{l}0<\sigma_{X}\ll\mu_{X}\\0<\sigma_{Y}\ll\mu_{Y}\end{array}\right.\]
alors la v.a. \(Z_{l}=\ln Z\) est:
- d'espérance:\[\boxed{\mu_{Z_{l}}=\ln\varphi\left(\mu_{X},\mu_{Y}\right)}\]
- de variance:\[\boxed{V_{X_{l}}=\sigma_{X_{l}}^{2}=a^{2}\frac{\sigma_{X}^{2}}{\mu_{X}^{2}}+b^{2}\frac{\sigma_{Y}^{2}}{\mu_{Y}^{2}}}\]Si \(V_{X_{l}}\ll1\):\[V_{X_{l}}=\frac{\sigma_{Z}^{2}}{\mu_{Z}^{2}}\]donc:\[\boxed{\frac{\sigma_{Z}^{2}}{\mu_{Z}^{2}}=a^{2}\frac{\sigma_{X}^{2}}{\mu_{X}^{2}}+b^{2}\frac{\sigma_{Y}^{2}}{\mu_{Y}^{2}}}\]