3.5 Exemples d'intervalles de confiance associées à un échantillon de profil connu
3.5.1 Position du problème
On considère une v.a. \(X\sim\mathcal{F}\left(\mu,\sigma^{2}\right)\)
- d'espérance \(\mu\) connue
- de variance \(\sigma^{2}\) connue
- de profil \(\mathcal{F}\) connu
Supposons que l'on dispose d'un échantillon singleton \(\left\{ x_{1}\right\} \).
Si on adopte comme estimateur de \(\mu\):
\[\hat{\mu}=x_{1}\]
on est donc en mesure de déterminer l'erreur commise.
Recherchons l'intervalle \(IC\left(1-\alpha\right)=\left[\hat{\mu}_{min}\left(\alpha\right),\hat{\mu}_{max}\left(\alpha\right)\right]\) que \(\hat{\mu}\) se situe dans l'intervalle \(IC\left(1-\alpha\right)\) avec une probabilité \(1-\alpha\).
\(IC\left(1-\alpha\right)\) sera appelé intervalle de confiance de trouver \(\hat{\mu}\) dans cet intervalle avec un niveau de confiance \(1-\alpha\).
Puisqu'on connaît \(\mu\) si on se donne la loi de \(X\), on peut se limiter à un profil centré (d'espérance nulle).
3.5.2 Cas où \(X\sim\mathcal{U}\left(-a,a\right)\)
Sa variance \(\sigma^{2}\) vaut:
\[\sigma^{2}=E\left[X_{c}^{2}\right]=\frac{a^{2}}{3}\]
Par exemple, l'intervalle de confiance associé à l'intervalle \(\left[-\sigma,+\sigma\right]\) conduit à un niveau de confiance donné par:
\[\int_{-\frac{a}{\sqrt{3}}}^{+\frac{a}{\sqrt{3}}}\frac{dx}{2a}=\frac{1}{\sqrt{3}}\]
soit:
\[1-\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}\simeq0.58\]
i.e. à \(58\)%.
Réciproquement, l'intervalle de confiance \(IC\left(0.95\right)\) à \(95\%\) est donné par la condition:
\[\int_{-x_{m}}^{+x_{m}}\frac{dx}{2a}=\frac{x_{m}}{a}=0.95\]
donc:
\[x_{m}=0.95\times a=0.95\times\sqrt{3}\sigma\cong1.65\sigma\]
Donc:
\[\boxed{IC\left(0.95\right)=\left[-1.65\sigma,+1.65\sigma\right]}\]
3.5.3 Cas où \(X\sim\mathcal{T}\left(-a,a\right)\)
Sa variance \(\sigma^{2}\) vaut:
\[\sigma^{2}=E\left[X_{c}^{2}\right]=\frac{a^{2}}{6}\]
Par exemple, l'intervalle de confiance associé à l'intervalle \(\left[-\sigma,+\sigma\right]\) conduit à un niveau de confiance donné par:
\[\int_{-\frac{a}{\sqrt{6}}}^{+\frac{a}{\sqrt{6}}}\frac{1}{a}\left(1-\frac{\left|x\right|}{a}\right)dx=\frac{2}{a}\left(\frac{a}{\sqrt{6}}-\frac{a}{12}\right)=\frac{2}{\sqrt{6}}\left(1-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)\]
soit:
\[1-\alpha=\frac{2}{\sqrt{6}}\left(1-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)\simeq0.65\]
i.e. à \(65\)%.
Réciproquement, l'intervalle de confiance \(IC\left(0.95\right)\) à \(95\%\) est donné par la condition:
\[\int_{-x_{m}}^{+x_{m}}\frac{1}{a}\left(1-\frac{\left|x\right|}{a}\right)dx=\frac{2}{a}\left(x_{m}-\frac{x_{m}^{2}}{2a}\right)=0.95\]
donc:
\[x_{m}=0.78\times a=0.78\times\sqrt{6}\sigma\cong1.91\sigma\]
Donc:
\[\boxed{IC\left(0.95\right)=\left[-1.91\sigma,+1.91\sigma\right]}\]
3.5.4 Cas où \(X\sim\mathcal{N}\left(0,\sigma^{2}\right)\)
Par exemple, l'intervalle de confiance associé à l'intervalle \(\left[-\sigma,+\sigma\right]\) conduit à un niveau de confiance donné par:
\[\int_{-\sigma}^{+\sigma}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}\right]dx=\frac{1}{2}\textrm{erf}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cong0.68\]
i.e. à \(68\)%.
Réciproquement, l'intervalle de confiance \(IC\left(0.95\right)\) à \(95\%\) est donné par la condition:
\[\int_{-x_{m}}^{+x_{m}}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}\right]dx=\textrm{erf}\left(\frac{x_{m}}{\sqrt{2}}\right)=0.95\]
donc:
\[x_{m}\cong1.96\sigma\]
Donc:
\[\boxed{IC\left(0.95\right)=\left[-1.96\sigma,+1.96\sigma\right]}\]