2.1 Description d'une variable aléatoire
2.1.1 Cas d'une variable aléatoire discrète, dénombrable ou continue
Considérons une grandeur physique désignée par \(\mathcal{X}\).
On la décrit par une variable aléatoire (v.a.) \(X\).
- Si \(X\) est une v.a. discrète finie décrivant un ensemble \(\Omega=\left\{ x_{1},...,x_{n}\right\} \) (appelé univers) de dimension finie \(n\), on lui affecte une mesure de probabilité et on note:\[\boxed{p_{k}=P\left(X=x_{k}\right)}\]la probabilité de l'événement “une réalisation de \(X\) retourne \(x_{k}\)” de sorte que:\[\sum_{k=1}^{n}p_{k}=1\]appelée condition de normalisation.
- Si \(X\) est une v.a. discrète dénombrable décrivant un ensemble \(\Omega\) (appelé univers) de dimension infinie, on lui affecte une mesure de probabilité et on note:\[\boxed{p_{k}=P\left(X=x_{k}\right)}\]la probabilité de l'événement “une réalisation de \(X\) retourne \(x_{k}\)” de sorte que:\[\sum_{k=1}^{+\infty}p_{k}=1\]appelée condition de normalisation.
- \(X\) est une v.a. continue sur \(\mathbb{R}\), on lui affecte une densité de probabilité \(f_{X}\) et on note:\[\boxed{dP=f_{X}\left(x\right)dx}\]la probabilité de l'événement “une réalisation de \(X\) se situe dans l'intervalle \(\left[x,x+dx\right]\)” de sorte que:\[\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}\left(x\right)dx=1\]appelée condition de normalisation.
2.1.2 Fonction de répartition et quantile
Soit \(X\) une v.a..
On appelle fonction de répartition la fonction:
\[F:\left\{ \begin{array}{l}\Omega\longrightarrow\left[0,1\right]\\x\longmapsto F_{X}\left(x\right)\end{array}\right.\]
telle que:
\[F_{X}\left(x\right)=P\left[X\leq x\right]\]
- Si \(X\) est une v.a. discrète finie décrivant un ensemble \(\Omega=\left\{ x_{1},...,x_{n}\right\} \) (appelé univers) de dimension finie \(n\), la fonction de répartition s'écrit:\[\boxed{F_{X}\left(x_{k}\right)=\sum_{i=1}^{k}P\left(X=x_{k}\right)}\]On généralise au cas dénombrable.
- \(X\) est une v.a. continue sur \(\mathbb{R}\), on lui affecte une densité de probabilité \(f_{X}\) et on note:\[\boxed{F_{X}\left(x\right)=\int_{-\infty}^{x}f_{X}\left(x^{\prime}\right)dx^{\prime}}\]
On peut aussi introduire une fonction quantile qui a un objectif inverse.
On appelle quantile la fonction:
\[Q:\left\{ \begin{array}{l}\left[0,1\right]\longrightarrow\Omega\\u\longmapsto Q_{X}\left(u\right)\end{array}\right.\]
telle que:
\[\boxed{Q_{X}\left(u\right)=\textrm{inf}\left\{ x\in\Omega/\:F_{X}\left(x\right)\geq u\right\} }\]
2.1.3 Espérance d'une v.a.
On distingue le cas d'une v.a. discrète ou continue:
- Si \(X\) est une v.a. discrète décrivant un ensemble \(\left\{ x_{1},...,x_{n}\right\} \), on appelle espérance \(E\) l'application \(X\longmapsto E\left(X\right)\) telle que:\[\boxed{E\left(X\right)=\sum_{k=1}^{n}p_{k}x_{k}}\]que l'on peut voir comme la moyenne des réalisations possibles de \(X\), affectées de leurs probabilités respectives.On généralise au cas d'un v.a. dénombrable.
- \(X\) est une v.a. continue sur \(\mathbb{R}\), on appelle espérance \(E\) l'application \(X\longmapsto E\left(X\right)\) telle que:\[\boxed{E\left(X\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf\left(x\right)dx}\]qui prolonge donc la définition de \(E\) donnée pour une v.a. discrète.
v.a. centrée:
Une v.a. \(X_{c}\) est dite centrée si:
\[E\left(X_{c}\right)=0\]
Ainsi, la v.a. \(X-E\left(X\right)\) est centrée.
Densité associée:
A la v.a. \(X\) de densité \(f\), on pourra associer la v.a. \(X_{c}\) de densité \(f_{c}\) avec:
\[f_{c}\left(x_{c}\right)dx_{c}=f\left(x\right)dx\]
donc:
\[f_{c}\left(x_{c}\right)=f\left(x_{r}+\mu\right)\]
où:
\[\mu=E\left(X\right)\]
2.1.4 Linéarité de l'espérance
Soient \(\alpha\) et \(\beta\) \(2\) réels.
Soient \(X\) et \(Y\) \(2\) v.a. définies sur le même univers.
On a alors:
\[\boxed{E\left(\alpha X+\beta Y\right)=\alpha E\left(X\right)+\beta E\left(Y\right)}\]
Ce résultat sera notamment utilisé pour des v.a. continues sur \(\mathbb{R}\).
2.1.5 Variance et écart-type d'une v.a.
On appelle variance \(V\) l'application \(X\longmapsto V\left(X\right)\) telle que:
\[V\left(X\right)=E\left\{ \left[X-E\left(X\right)\right]^{2}\right\} =E\left(X^{2}\right)-E^{2}\left(X\right)\]
que l'on peut voir comme l'écart quadratique moyen à \(E\left(X\right)\) des réalisations possibles de \(X\), affectées de leurs probabilités respectives
L'écart-type est l'application \(X\longmapsto\sigma\left(X\right)\) telle que:
\[\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}\]
On en déduit les expressions de \(V\left(X\right)\):
- Si \(X\) est une v.a. discrète décrivant un ensemble \(\left\{ x_{1},...,x_{n}\right\} \), on a donc:\[V\left(X\right)=\sum_{k=1}^{n}p_{k}\left[x_{k}-E\left(X\right)\right]^{2}=\sum_{k=1}^{n}p_{k}x_{k}^{2}-\left(\sum_{k=1}^{n}p_{k}x_{k}\right)^{2}\]On généralise au cas d'une v.a. dénombrable.
- \(X\) est une v.a. continue sur \(\mathbb{R}\), on appelle espérance \(E\) l'application \(X\longmapsto E\left(X\right)\) telle que:\[V\left(X\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left[x-E\left(X\right)\right]^{2}f\left(x\right)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}f\left(x\right)dx-\left(\int_{-\infty}^{+\infty}xf\left(x\right)dx\right)^{2}\]
v.a. réduite:
Une v.a. \(X_{r}\) est dite réduite si:
\[\sigma\left(X_{r}\right)=\sqrt{V\left(X_{r}\right)}=1\]
Ainsi, la v.a. non constante \(X_{r}=\frac{X}{\sigma\left(X\right)}\) est réduite.
Densité associée:
A la v.a. \(X\) de densité \(f\), on pourra associer la v.a. \(X_{r}\) de densité \(f_{r}\) avec:
\[f_{r}\left(x_{r}\right)dx_{r}=f\left(x\right)dx\]
donc:
\[f_{r}\left(x_{r}\right)=\sigma f\left(x=\sigma x_{r}\right)\]
où:
\[\sigma=\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}\]
2.1.6 v.a. centrée réduite
Une v.a. \(X_{cr}\) est dite centrée réduite si elle est:
- centrée:\[E\left(X_{cr}\right)=0\]
- réduite:\[\sigma\left(X_{cr}\right)=\sqrt{V\left(X_{cr}\right)}=1\]
Ainsi, la v.a. non constante \(X_{cr}=\frac{X-E\left(X\right)}{\sigma\left(X\right)}\) est centrée réduite.
Densité associée:
A la v.a. \(X\) de densité \(f\), on pourra associer la v.a. \(X_{cr}\) de densité \(f_{cr}\) avec:
\[f_{cr}\left(x_{cr}\right)dx_{cr}=f\left(x\right)dx\]
donc:
\[f_{cr}\left(x_{cr}\right)=\sigma f\left(\sigma x_{cr}+\mu\right)\]
où:
\[\left\{ \begin{array}{l}\mu=E\left(X\right)\\\sigma=\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}\end{array}\right.\]